중1 다면체
각뿔·각뿔대·정다면체의 겨냥도와 면·모서리·꼭짓점의 개수, 정다면체의 전개도, 꼭짓점을 잘라 낸 정육면체를 그립니다. 개수를 세는 규칙과 정다면체가 다섯 가지뿐인 이유를 정리했습니다.
개념 정리
밑면이 n각형일 때 n각기둥은 면 n + 2, 모서리 3n, 꼭짓점 2n, n각뿔은 면 n + 1, 모서리 2n, 꼭짓점 n + 1, n각뿔대는 면 n + 2, 모서리 3n, 꼭짓점 2n 입니다. 각뿔대는 각기둥과 개수가 같고 옆면이 사다리꼴이라는 점만 다릅니다. 원문은 다면체를 그 모양이 볼록인 경우만 다룬다고 적고 있고(도형과 측정 고려 사항), 이 도판의 다면체는 모두 볼록입니다.
정다면체는 모든 면이 합동인 정다각형이고 한 꼭짓점에 모인 면의 수가 같은 다면체입니다. 한 꼭짓점에 모인 각의 합이 360° 보다 작아야 입체가 되므로 정삼각형은 3, 4, 5개, 정사각형은 3개, 정오각형은 3개만 가능하고, 그래서 정다면체는 다섯 가지뿐입니다.
| 정다면체 | 면의 모양 | 한 꼭짓점에 모인 면 | 면 | 모서리 | 꼭짓점 |
|---|---|---|---|---|---|
| 정사면체 | 정삼각형 | 3 | 4 | 6 | 4 |
| 정육면체 | 정사각형 | 3 | 6 | 12 | 8 |
| 정팔면체 | 정삼각형 | 4 | 8 | 12 | 6 |
| 정십이면체 | 정오각형 | 3 | 12 | 30 | 20 |
| 정이십면체 | 정삼각형 | 5 | 20 | 30 | 12 |
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 각뿔·각뿔대: 모서리가 24개인 각뿔대의 이름과 면·꼭짓점의 개수 구하기
- 정다면체의 성질 표 채우기, "면의 모양이 정삼각형인 정다면체"처럼 조건에 맞는 것 고르기
- 정다면체의 전개도: 접었을 때 겹치는 점, 겹치는 모서리 찾기
- 꼭짓점을 잘라 낸 정육면체: 삼등분점을 지나게 자르면 면 14, 모서리 36, 꼭짓점 24, 중점을 지나게 자르면 면 14, 모서리 24, 꼭짓점 12
이 도판은 5가지 보기로 그릴 수 있습니다: n각뿔, n각뿔대, 정다면체, 정다면체의 전개도, 꼭짓점을 잘라 낸 정육면체.
예제 · 모서리의 개수로 각뿔대 찾기
모서리가 24개인 각뿔대의 이름을 쓰고, 면과 꼭짓점의 개수를 구하시오.
n각뿔대의 모서리는 3n개이므로 3n = 24, n = 8, 팔각뿔대입니다.
면은 8 + 2 = 10개, 꼭짓점은 8 × 2 = 16개 입니다. 검산: 16 − 24 + 10 = 2
도판을 만들 때 챙길 점
- 각뿔·각뿔대 보기의 꼭짓점 이름은 기본으로 꺼져 있습니다. 개수를 세는 문제에서는 이름 없이 두어야 그림이 깔끔합니다.
- 정다면체 보기에서 "한 꼭짓점에 모인 면 색칠"을 켜면 정다면체가 다섯 가지뿐인 이유를 설명하는 그림이 됩니다.
- 전개도 보기의 점 이름은 "모두 다른 이름", "겹치는 점은 같은 이름", "쓰지 않음" 중에서 고릅니다. 겹치는 점을 묻는 문제는 모두 다른 이름으로, 겹치는 모서리 한 쌍 굵게 표시는 풀이지에서만 켭니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 각뿔의 꼭짓점을 밑면의 꼭짓점 수(n)로만 세고 위의 꼭짓점 하나를 빠뜨립니다.
- 정팔면체와 정육면체의 면·꼭짓점 수를 서로 바꿔 씁니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.