중1 그릇에 담긴 물의 부피
원뿔 모양 그릇, 기울인 직육면체·원기둥 그릇, 막대를 넣은 원기둥 그릇, 원뿔대 모양 그릇에 담긴 물을 그립니다. 물이 이루는 입체를 찾아 부피를 구하는 방법과 시간 계산을 정리했습니다.
개념 정리
그릇에 담긴 물 문제는 물이 이루는 입체가 무엇인지 찾는 것이 먼저입니다. 원뿔 그릇의 물은 작은 원뿔, 기울인 직육면체 그릇의 물은 삼각기둥, 원뿔대 그릇의 물은 원뿔대입니다.
원뿔 그릇에서 물의 높이가 그릇 높이의 k/n 이면 물과 그릇은 닮음비 k : n인 원뿔이라 부피의 비는 k³ : n³ 입니다(도형의 닮음을 배운 뒤에 씁니다). 닮음을 배우기 전에 쓰는 학습지(서비스의 중1 분류)에서는 수면의 반지름을 주고 ⅓ × π × (수면의 반지름)² × (물의 높이)로 직접 계산합니다. 일정한 빠르기로 물을 넣으면 걸리는 시간도 부피에 비례합니다.
기울인 원기둥 그릇에서 양쪽 물의 높이가 a, b이면 같은 모양을 거꾸로 하나 더 붙여 높이 a + b인 원기둥을 만들 수 있으므로 물의 부피는 πr² × (a + b) ÷ 2 입니다. 막대를 넣으면 물이 차지하는 밑넓이가 π(R² − r²)로 줄어 물의 높이가 올라갑니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 원뿔 그릇: 물의 높이가 ⅔ 일 때 8분 걸렸다면 가득 채우는 데 8 × 27/8 = 27분, 19분 더 걸림
- 기울인 직육면체 그릇: 물이 이루는 삼각기둥의 부피와, 그릇을 바로 세웠을 때 물의 높이
- 막대를 넣은 원기둥 그릇: 막대가 물 위로 나오는 경우와 물에 완전히 잠기는 경우 구분
- 기울인 원기둥 그릇: 양쪽 물의 높이의 평균이 바로 세웠을 때 물의 높이
- 원뿔대 그릇: 늘여서 만든 큰 원뿔에서 잘라 낸 원뿔을 빼서 그릇과 물의 부피 구하기
이 도판은 5가지 보기로 그릴 수 있습니다: 원뿔 모양 그릇, 기울인 직육면체 그릇, 원기둥 그릇에 막대 넣기, 기울인 원기둥 그릇, 원뿔대 모양 그릇.
예제 · 원뿔 그릇
밑면의 반지름이 8 cm, 높이가 12 cm인 원뿔 모양 그릇을 거꾸로 세우고 물을 넣었더니 4분 만에 물의 높이가 6 cm, 수면의 반지름이 4 cm가 되었다. 물의 부피와, 그릇을 가득 채우려면 몇 분 더 걸리는지 구하시오.
물의 부피 = ⅓ × π × 4² × 6 = 32π cm³, 그릇의 부피 = ⅓ × π × 8² × 12 = 256π cm³ 입니다.
1분에 8π cm³ 씩 넣으므로 가득 채우는 데 256π ÷ 8π = 32분, 28분 더 걸립니다.
예제 · 기울인 직육면체 그릇
가로 10 cm, 세로 4 cm인 직육면체 그릇을 기울였더니 물이 이루는 삼각기둥의 밑면이 두 변 6 cm, 10 cm인 직각삼각형이 되었다. 바로 세웠을 때 물의 높이를 구하시오.
물의 부피 = (½ × 6 × 10) × 4 = 120 cm³ 이므로 물의 높이 = 120 ÷ (10 × 4) = 3 cm 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 중1 문제지에서는 원뿔 그릇의 "수면의 반지름"을 켜 둡니다. 닮음을 배우기 전에는 이 값이 없으면 물의 부피를 구할 수 없습니다. 닮음을 배운 뒤라면 끄고 닮음비로 풀게 합니다.
- 원뿔대 그릇의 "늘여서 만든 원뿔(점선)"과 "잘라 낸 원뿔의 높이"는 기본으로 켜져 있습니다. 닮음을 배우기 전에는 빼기로 푸는 데 꼭 필요한 정보입니다.
- 막대 보기는 두 그림(넣기 전·넣은 뒤)을 나란히 그리므로 인쇄할 때 가로 폭을 넉넉하게 잡습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 원뿔 그릇에서 물의 높이가 절반이면 부피도 절반이라고 생각합니다(실제로는 ⅛).
- 막대를 넣은 뒤에도 원래 밑넓이 πR² 으로 나누어 물의 높이를 구합니다(막대가 물 위로 나와 있을 때).
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.