작도와 삼각형의 결정 조건, 합동 조건 SSS·SAS·ASA

중1 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

작도 단원은 "컴퍼스로 원을 그린다"는 조작이 많아 기능 연습처럼 보이지만, 실제로 배우는 것은 어떤 조건이 주어지면 도형이 하나로 정해지는가입니다. 세 변을 주면 삼각형이 하나로 정해지므로 세 변이 같은 두 삼각형은 합동이고, 이것이 SSS 합동 조건입니다. 작도, 결정 조건, 합동 조건이 한 줄로 이어져 있다는 점을 보여 주면 학생들이 합동 조건을 외울 필요가 없어집니다.

이 글에서는 기본 작도 → 삼각형의 작도와 결정 조건 → 합동 조건 → 합동인 삼각형 찾기 순서로 정리하고, 작도 문제와 합동 문제의 그림을 만들 때 챙길 점까지 다룹니다.

작도의 도구와 길이가 같은 선분

작도는 눈금 없는 자와 컴퍼스만 써서 도형을 그리는 것입니다. 눈금 없는 자는 두 점을 잇는 선분을 긋거나 선분을 연장하는 데, 컴퍼스는 원을 그리거나 길이를 재어 다른 곳으로 옮기는 데 씁니다. 각도기나 눈금 있는 자로 길이를 재는 것은 작도가 아닙니다.

가장 기본은 길이가 같은 선분의 작도입니다. 선분 AB와 길이가 같은 선분을 그리려면 먼저 자로 직선 l을 긋고 그 위에 점 P를 잡습니다. 컴퍼스를 AB의 길이만큼 벌린 뒤, P를 중심으로 원을 그려 l과 만나는 점을 Q라 하면 PQ = AB입니다. 이 과정은 선분 AB의 2배, 3배 길이를 만드는 데도 그대로 쓰입니다.

크기가 같은 각의 작도

∠XOY와 크기가 같은 각을 반직선 PQ 위에 옮기는 순서는 다음과 같습니다.

1. 점 O를 중심으로 원을 그려 반직선 OX, OY와 만나는 점을 각각 A, B라 합니다.
2. 같은 반지름으로 점 P를 중심으로 원을 그려 반직선 PQ와 만나는 점을 C라 합니다.
3. 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 잽니다.
4. 점 C를 중심으로 반지름이 AB인 원을 그려 2의 원과 만나는 점을 D라 합니다.
5. 반직선 PD를 그으면 ∠DPQ = ∠XOY입니다.

이 작도가 맞는 이유는 합동에 있습니다. 삼각형 OAB와 삼각형 PCD에서 OA = PC, OB = PD(같은 반지름), AB = CD(같은 길이로 옮김)이므로 세 변의 길이가 각각 같습니다. 세 변이 같으면 두 삼각형은 합동이므로 대응각인 ∠AOB와 ∠CPD도 같습니다.

크기가 같은 각의 작도를 이용하면 한 점을 지나고 주어진 직선에 평행한 직선도 그릴 수 있습니다. 점 P를 지나는 직선을 그어 l과 만나는 점을 Q라 하고, 점 Q에 생긴 각을 점 P로 옮겨 동위각(또는 엇각)의 크기가 같게 만들면 됩니다. 동위각이 같으면 두 직선은 평행하기 때문입니다.

삼각형의 작도와 결정 조건

세 변의 길이가 주어진 삼각형은 한 변을 먼저 옮긴 뒤, 양 끝점에서 나머지 두 변의 길이를 반지름으로 하는 원을 그려 만나는 점을 찾습니다. 두 원이 만나야 삼각형이 생기므로, 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 합니다.

7 < 5 + 4이므로 두 원이 만나 삼각형이 하나로 정해집니다. 만약 세 선분이 3, 4, 8이면 8 ≥ 3 + 4이므로 두 원이 만나지 않아 삼각형을 만들 수 없습니다. 이처럼 삼각형이 하나로 정해지는 경우는 세 가지이고, 이것을 삼각형의 결정 조건이라고 합니다.

합동 조건 SSS·SAS·ASA

두 도형을 포개었을 때 완전히 겹치면 합동이라 하고, △ABC ≡ △DEF처럼 대응하는 꼭짓점의 순서를 맞추어 씁니다. 합동인 두 도형은 대응변의 길이와 대응각의 크기가 각각 같습니다. 삼각형의 결정 조건을 그대로 옮기면 합동 조건이 됩니다. 같은 조건으로는 같은 삼각형 하나만 그려지기 때문입니다.

그림에서 AB = DE, BC = EF이고 두 변의 끼인각 ∠B = ∠E이므로 SAS 합동입니다. △DEF는 뒤집혀 놓여 있지만, 같은 표시를 따라가면 A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F가 대응합니다. 따라서 ∠x = ∠F = ∠C = 60°입니다. 뒤집히거나 돌려 놓인 삼각형에서는 꼭짓점의 위치가 아니라 표시(눈금, 호)로 대응을 찾는 것이 핵심입니다.

그림 속에서 합동인 삼각형 찾기

실제 문제에서는 두 삼각형이 따로 떨어져 있지 않고 한 그림 안에 겹쳐 있습니다. 이때 쓰는 조건은 대부분 문제에 주어지지 않고 그림에 숨어 있습니다. 자주 쓰이는 숨은 조건은 맞꼭지각, 공통인 변, 정사각형·정삼각형의 같은 변과 같은 각, 평행선의 엇각입니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 작도 흔적(호)을 남깁니다. 작도 문제의 그림에서 원의 일부인 호가 지워져 있으면 어느 점을 중심으로 무엇을 옮겼는지 알 수 없습니다. 순서를 묻는 문제라면 호는 남기고 번호만 뺍니다.
• 작도 순서 번호는 답이 될 수 있습니다. "작도 순서를 바르게 나열하시오" 문제에서 번호가 그림에 있으면 답이 드러나므로 해설지에만 넣습니다.
• 같은 길이·같은 각 표시는 개수로 구분합니다. AB = DE에는 눈금 한 개, BC = EF에는 두 개처럼 짝마다 개수를 달리해야 대응을 찾을 수 있습니다.
• 합동 문제는 한 삼각형을 뒤집거나 돌려 놓습니다. 두 삼각형을 같은 방향으로만 그리면 학생이 위치로 대응을 찾는 습관이 들어, 뒤집힌 그림에서 대응변을 틀립니다.
• 구하는 변과 각만 문자로 바꿉니다. 합동 조건에 쓰인 값까지 지우면 문제가 풀리지 않고, 구하는 값을 남기면 답이 드러납니다.

쌤로그 도판 편집기의 합동 도판은 합동 조건(SSS·SAS·ASA)과 놓는 방법(같은 방향·뒤집기·돌리기)을 골라 표시가 맞는 두 삼각형을 그려 주므로, 같은 조건을 방향만 바꿔 연습시키는 데 쓸 수 있습니다.

자주 묻는 질문

두 각과 한 변이 같으면 항상 합동인가요?

두 각이 같으면 나머지 한 각도 180°에서 빼서 같아지므로, 대응하는 한 변과 두 각이 같으면 ASA 합동으로 바꿀 수 있습니다. 다만 길이가 같은 두 변이 서로 대응하는 위치에 있어야 합니다. 예를 들어 한 삼각형에서는 50°인 각과 마주 보는 변이 6이고, 다른 삼각형에서는 60°인 각과 마주 보는 변이 6이면 두 삼각형은 합동이 아닙니다.

작도에서 각도기를 쓰면 안 되는 이유는 무엇인가요?

작도는 길이와 각을 재지 않고 옮기는 방법을 배우는 것이기 때문입니다. 컴퍼스로 옮긴 길이는 정확히 같지만, 각도기로 잰 값은 눈금을 읽는 과정에서 오차가 생깁니다.

결정 조건과 합동 조건은 어떻게 다른가요?

내용은 같고 쓰는 곳이 다릅니다. 결정 조건은 삼각형 하나를 그릴 때 무엇이 주어져야 하는지를, 합동 조건은 두 삼각형이 같은지 판단할 때 무엇을 비교하면 되는지를 말합니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.