맞꼭지각과 평행선의 동위각·엇각, 꺾인 선의 각 구하기
각의 크기를 구하는 문제는 중학교 도형 단원 전체에 걸쳐 나오지만, 쓰는 도구는 생각보다 적습니다. 기본 도형 단원([9수03-01], [9수03-02])에서 배우는 평각은 180°, 맞꼭지각은 같다, 평행선에서 동위각과 엇각은 같다 세 가지가 거의 모든 계산의 출발점입니다. 삼각형의 내각의 합이 180°라는 사실도 평행선의 엇각으로 설명합니다.
이 글에서는 세 가지 도구가 왜 성립하는지 짧게 확인하고, 각의 위치를 정확히 부르는 법, 평행선인지 판별하는 법, 그리고 학생들이 가장 어려워하는 꺾인 선의 각을 보조선으로 푸는 방법까지 순서대로 다룹니다.
맞꼭지각은 왜 크기가 같은가
두 직선이 한 점에서 만나면 네 개의 각이 생깁니다. 이 중 서로 마주 보는 두 각을 맞꼭지각이라고 합니다. 맞꼭지각의 크기가 같은 이유는 평각 하나로 설명됩니다. 이웃한 두 각은 한 직선 위에 놓이므로 합이 180°입니다. 어떤 각 ∠p와 그 맞꼭지각 ∠q는 모두 같은 각 ∠r과 이웃하므로 ∠p + ∠r = 180°, ∠q + ∠r = 180°이고, 따라서 ∠p = ∠q입니다.
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그림에서 ∠x는 70°인 ∠BOC의 맞꼭지각이므로 70°입니다. 나머지 두 각은 각각 180° − 70° = 110°입니다. 네 각을 한 바퀴 돌며 더하면 70° + 110° + 70° + 110° = 360°로, 한 점에 모인 각의 합과 맞습니다.
예제 1 · 세 직선이 한 점에서 만날 때
세 직선이 한 점에서 만날 때, 그림에서 ∠x의 크기를 구하시오.
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60°인 각을 맞꼭지각 자리로 옮기면 50°, ∠x와 함께 한 직선 위에 나란히 놓입니다.
세 각이 평각을 이루므로 50° + 60° + ∠x = 180°, ∠x = 70°입니다.
검산: 여섯 각은 50°, 60°, 70°가 두 번씩 나오므로 합이 2 × 180° = 360°입니다.
동위각과 엇각: 각의 위치 이름
두 직선 l, m이 다른 한 직선 n과 만나면 교점마다 네 개씩, 모두 여덟 개의 각이 생깁니다. 이때 각의 위치에 이름을 붙인 것이 동위각과 엇각입니다. 이름은 위치일 뿐이어서, l과 m이 평행하지 않아도 동위각과 엇각은 있습니다. 크기가 같아지는 것은 평행할 때뿐입니다.
| 이름 | 위치 | 짝(l 위 → m 위) |
|---|---|---|
| 동위각 | 두 교점에서 같은 쪽, 같은 방향에 있는 각 | 왼쪽 위 ∠a ↔ ∠e, 오른쪽 위 ∠b ↔ ∠f, 왼쪽 아래 ∠c ↔ ∠g, 오른쪽 아래 ∠d ↔ ∠h |
| 엇각 | l과 m 사이(안쪽)에서 n을 기준으로 서로 엇갈린 쪽에 있는 각 | ∠c ↔ ∠f, ∠d ↔ ∠e |
| 같은 쪽의 안쪽 각 | l과 m 사이에서 n의 같은 쪽에 있는 두 각 | ∠c와 ∠e, ∠d와 ∠f |
엇각은 반드시 두 직선 l, m 사이에 있는 각끼리의 짝입니다. 바깥쪽의 ∠a와 ∠h도 엇갈린 위치처럼 보이지만 교과서에서 말하는 엇각이 아닙니다. 학생에게 엇각을 찾게 할 때는 알파벳 Z 모양(또는 뒤집힌 Z)을 따라가 보게 하면 위치가 잘 잡힙니다.
평행선의 성질과 평행선 판별
두 직선 l, m이 평행하면 직선 n을 따라 l을 m 위치까지 평행하게 옮긴 것과 같으므로 동위각의 크기가 같습니다. 엇각은 동위각의 맞꼭지각이므로 엇각의 크기도 같습니다. 거꾸로 동위각이나 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행합니다. 즉 다음 세 문장은 모두 같은 뜻입니다.
- l ∥ m
- 동위각의 크기가 같다
- 엇각의 크기가 같다
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같은 쪽의 안쪽 각은 따로 외울 필요가 없습니다. l ∥ m이면 ∠c와 ∠e에서 ∠e는 ∠d의 엇각이므로 ∠c + ∠e = ∠c + ∠d = 180°가 됩니다. 이렇게 평각과 엇각으로 바꿔 생각하는 습관이 뒤의 꺾인 선 문제에서 그대로 쓰입니다.
예제 2 · 문자로 나타낸 엇각
l ∥ m이고 직선 n이 두 직선과 만난다. 한 쌍의 엇각의 크기가 각각 (2x + 10)°, (3x − 25)°일 때 x의 값과 그 각의 크기를 구하시오.
l ∥ m이므로 엇각의 크기는 같습니다. 2x + 10 = 3x − 25에서 x = 35입니다.
각의 크기는 2 × 35 + 10 = 80°입니다.
검산: 3 × 35 − 25 = 80으로 두 식의 값이 같습니다. 만약 두 각이 엇각이 아니라 같은 쪽의 안쪽 각이었다면 합이 180°가 되도록 식을 세워야 하므로, 먼저 위치를 확인합니다.
평행선 판별 문제에서는 한 쌍의 동위각(또는 엇각)만 비교하면 됩니다. 예를 들어 직선 n이 l과 이루는 각이 75°이고, 같은 위치에서 m과 이루는 각이 65°이면 동위각의 크기가 다르므로 l과 m은 평행하지 않습니다. 이때 두 직선은 오른쪽이나 왼쪽 어딘가에서 만납니다.
꺾인 선의 각: 평행한 보조선 긋기
평행한 두 직선 사이에 꺾인 선이 있으면, 꺾인 점을 지나고 l, m에 평행한 보조선을 긋습니다. 그러면 꺾인 각이 두 조각으로 나뉘고, 각 조각은 l 또는 m 위의 각과 엇각이 됩니다.
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그림에서 꺾인 점을 지나 l에 평행한 보조선을 그으면, ∠x의 위쪽 조각은 l 위의 40°와 엇각, 아래쪽 조각은 m 위의 25°와 엇각입니다. 따라서 ∠x = 40° + 25° = 65°입니다. 꺾인 곳이 여러 번이어도 방법은 같습니다. 꺾인 점마다 보조선을 하나씩 그으면 됩니다.
결과만 모아 보면 규칙이 보입니다. 왼쪽으로 벌어진 각의 합과 오른쪽으로 벌어진 각의 합이 같습니다. 한 번 꺾인 그림에서는 오른쪽으로 벌어진 40°, 25°의 합이 왼쪽으로 벌어진 ∠x와 같습니다. 다만 이 규칙은 검산용으로 쓰고, 풀이에는 보조선과 엇각을 쓰게 하는 편이 좋습니다.
예제 3 · 두 번 꺾인 선
l ∥ m일 때, 그림에서 ∠x의 크기를 구하시오.
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80°인 꺾인 점을 지나는 평행한 보조선을 그으면 80°는 l 위의 35°와 엇각인 35°, 나머지 80° − 35° = 45°로 나뉩니다.
∠x인 꺾인 점에도 평행한 보조선을 그으면 ∠x는 위의 45°와 엇각인 45°, m 위의 30°와 엇각인 30°로 나뉩니다. 따라서 ∠x = 45° + 30° = 75°입니다.
검산: 왼쪽으로 벌어진 각의 합 80° + 30° = 110°, 오른쪽으로 벌어진 각의 합 35° + 75° = 110°로 같습니다.
시험지 그림을 만들 때 챙길 점
- 평행 조건은 기호로 표시합니다. 두 직선에 같은 모양의 화살표를 넣거나 문제에 l ∥ m을 씁니다. 눈으로 평행해 보이는 것만으로는 조건이 되지 않으므로, 평행선 판별 문제에서는 반대로 화살표를 빼야 합니다.
- 평행한 보조선은 문제지에 넣지 않습니다. 꺾인 선 문제에서 보조선이 곧 풀이의 핵심입니다. 해설지에만 점선으로 넣습니다.
- 각의 호는 재는 각에 정확히 붙입니다. 호가 이웃한 각까지 걸치면 학생이 110°를 70°로 읽습니다. 크기를 쓴 숫자는 호 바깥쪽 가까이에 둡니다.
- 실제 각도와 그림을 맞춥니다. 30°라고 쓴 각이 60°처럼 그려지면 학생이 그림을 믿고 틀린 답을 검산할 수 있습니다.
- 평행선 판별 그림은 조금 기울여 그립니다. 동위각이 75°와 65°인데 두 직선이 거의 평행하게 그려져 있으면 "그림으로 보면 평행"이라는 오해가 생깁니다.
쌤로그 도판 편집기의 평행선 도판은 주어진 각을 바꾸면 그림의 기울기도 함께 바뀌므로, 숫자와 그림이 어긋나지 않는 문제를 빠르게 만들 수 있습니다.
자주 묻는 질문
- 평행하지 않은 두 직선에서도 동위각이라고 부르나요?
- 네. 동위각과 엇각은 위치를 가리키는 이름이어서 평행 여부와 관계없이 씁니다. 평행할 때만 크기가 같다는 성질이 성립합니다.
- 맞꼭지각이 같다는 것을 증명할 때 무엇을 쓰나요?
- 평각이 180°라는 사실 하나만 씁니다. 두 맞꼭지각이 같은 각과 각각 평각을 이루므로, 180°에서 같은 각을 뺀 값으로 크기가 같습니다.
- 꺾인 선이 l 바깥으로 튀어나와도 같은 방법을 쓰나요?
- 네. 꺾인 점을 지나는 평행한 보조선을 그은 뒤 엇각과 동위각을 찾는 방법은 같습니다. 다만 각이 보조선의 같은 쪽에 모여 덧셈이 뺄셈으로 바뀔 수 있으므로, 조각마다 어떤 각과 같은지 그림에 표시하며 풉니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.