중심각이 180°보다 큰 부채꼴도 있나요?

있습니다. 원 위의 두 점으로 나뉜 두 호 중 긴 쪽을 택하면 중심각이 180°보다 큰 부채꼴이 됩니다. 공식은 똑같이 x/360을 곱해 쓰며, 예를 들어 중심각 270°인 부채꼴은 원의 3/4입니다.

부채꼴의 넓이 공식 S = ½rl은 언제 쓰나요?

반지름과 호의 길이가 주어지고 중심각이 주어지지 않았을 때 씁니다. 중심각을 먼저 구하는 과정을 건너뛸 수 있고, 입체도형 단원에서 원뿔의 옆넓이(전개도의 부채꼴)를 구할 때도 같은 식을 씁니다.

현의 길이가 중심각에 정비례하지 않는데, 현의 길이가 같으면 중심각이 같은 것은 맞나요?

맞습니다. 같은 원에서 현의 길이가 같으면 두 반지름과 현으로 만든 삼각형이 SSS 합동이므로 중심각이 같습니다. 같다는 관계는 성립하지만 2배, 3배로 늘어나는 정비례 관계는 성립하지 않는다는 뜻입니다.

원과 부채꼴: 중심각과 호·현, 호의 길이와 넓이 구하기

중1 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

원과 부채꼴 단원에서 학생들이 자주 틀리는 곳은 공식이 아니라 무엇이 중심각에 정비례하는가입니다. 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각에 정비례하지만 현의 길이는 그렇지 않습니다. 이 차이를 그림으로 한 번 확인해 두면 비례식 문제와 넓이 문제가 모두 쉬워집니다.

이 글에서는 용어 → 중심각과 호·현 → 호의 길이와 넓이 공식 → 색칠한 부분의 넓이 순서로 정리하고, 원이 들어간 그림을 시험지에 넣을 때 챙길 점을 덧붙입니다. 원주율은 π로 씁니다.

원과 부채꼴의 용어

원 위의 두 점 A, B로 나뉜 원의 일부분을 호 AB라 하고, 두 점을 이은 선분을 현 AB라고 합니다. 두 반지름과 호로 둘러싸인 도형이 부채꼴, 두 반지름이 이루는 각이 중심각입니다. 현과 호로 둘러싸인 도형은 활꼴입니다.

원과 부채꼴의 용어 정리
용어	뜻	주의할 점
호 AB	원 위의 두 점 A, B 사이의 원의 일부분	보통 짧은 쪽 호를 가리킨다
현 AB	원 위의 두 점 A, B를 이은 선분	가장 긴 현은 지름이다
할선	원 위의 두 점을 지나는 직선	현은 선분, 할선은 직선이다
부채꼴	두 반지름과 호로 둘러싸인 도형	반원은 중심각이 180°인 부채꼴이다
중심각	부채꼴에서 두 반지름이 이루는 각	호 AB에 대한 중심각은 ∠AOB
활꼴	현과 호로 둘러싸인 도형	반원은 활꼴이기도 하다

중심각과 호, 중심각과 현

한 원에서 중심각의 크기가 2배, 3배가 되면 부채꼴을 2개, 3개 이어 붙인 것과 같으므로 호의 길이와 부채꼴의 넓이도 2배, 3배가 됩니다. 즉 호의 길이와 부채꼴의 넓이는 중심각의 크기에 정비례합니다. 그래서 두 부채꼴의 중심각과 호의 길이 사이에는 비례식이 성립합니다.

중심각이 40°인 호 AB의 길이가 5일 때, 중심각이 120°인 호 CD의 길이 x를 구하는 그림입니다.
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그림에서 40° : 120° = 5 : x이므로 x = 15입니다. 중심각이 3배이므로 호의 길이도 3배라고 생각하면 식 없이도 풀립니다.

현의 길이는 다릅니다. 중심각이 같은 두 현의 길이는 같고, 길이가 같은 두 현에 대한 중심각의 크기도 같습니다. 하지만 중심각이 2배가 되어도 현의 길이는 2배가 되지 않습니다. ∠AOC = 2∠AOB가 되도록 호 AC 위에 점 B를 잡으면 AB = BC이고, 삼각형 ABC에서 AC < AB + BC = 2AB이기 때문입니다. 넓이도 마찬가지로, 삼각형 OAB의 넓이는 중심각에 정비례하지 않습니다.

같은 원에서 길이가 같은 두 현 AB, CD에 대한 중심각은 크기가 같습니다(∠x = 60°).
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한 줄 정리중심각에 정비례: 호의 길이, 부채꼴의 넓이. 정비례하지 않음: 현의 길이, 삼각형 OAB의 넓이, 활꼴의 넓이.

부채꼴의 호의 길이와 넓이

반지름이 r인 원의 둘레는 2πr, 넓이는 πr²입니다. 중심각이 x°인 부채꼴은 원 전체(360°)의 x/360만큼이므로 다음과 같습니다.

(호의 길이) l = 2πr × x/360, (넓이) S = πr² × x/360

두 식을 비교하면 S = ½ × r × l이라는 관계도 얻습니다. πr² × x/360 = ½ × r × (2πr × x/360)이기 때문입니다. 반지름과 호의 길이만 주어지면 중심각을 몰라도 넓이를 바로 구할 수 있어 편리합니다. 부채꼴을 아주 가늘게 잘라 번갈아 붙이면 가로가 l의 절반, 세로가 r인 직사각형에 가까워진다고 설명하면 학생들이 쉽게 받아들입니다.

반지름이 6, 중심각이 120°인 부채꼴의 호의 길이 l과 넓이 S를 구하는 그림입니다.
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그림의 부채꼴은 원의 120/360 = 1/3이므로 l = 2π × 6 × 1/3 = 4π, S = π × 6² × 1/3 = 12π입니다. S = ½ × 6 × 4π = 12π로 같은 값이 나오는지 확인하면 계산 실수를 잡을 수 있습니다. 부채꼴의 둘레를 물으면 호의 길이에 반지름 두 개를 더해 12 + 4π로 답해야 합니다. 반지름을 빠뜨리는 실수가 가장 흔합니다.

예제 1 · 호의 길이로 중심각과 넓이 구하기

반지름이 10 cm이고 호의 길이가 4π cm인 부채꼴의 중심각의 크기와 넓이를 구하시오.

풀이

중심각을 x°라 하면 2π × 10 × x/360 = 4π이므로 x/360 = 1/5, x = 72입니다.

넓이는 S = ½ × 10 × 4π = 20π cm²입니다.

검산: π × 10² × 72/360 = 100π × 1/5 = 20π로 같습니다.

색칠한 부분의 넓이: 빼기, 더하기, 옮기기

색칠한 부분의 넓이 문제는 모양이 복잡해 보여도 대부분 정사각형·직사각형·삼각형과 부채꼴의 덧셈과 뺄셈으로 바뀝니다. 먼저 색칠한 부분을 공식이 있는 도형의 합이나 차로 말로 써 보게 하면 식이 저절로 나옵니다. 도형과 측정 고려 사항에 "복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레의 길이"를 구하는 문제는 다루지 않는다고 되어 있으므로, 두세 도형의 합과 차로 바로 나타나는 모양까지만 씁니다.

빼기: 큰 도형에서 색칠하지 않은 부분을 뺍니다. 예: 정사각형 − 사분원.
더하기와 겹침: 두 도형을 더하면 겹친 부분이 두 번 세어지므로 한 번 뺍니다. 예: 두 사분원이 겹친 렌즈 모양.
옮기기: 색칠한 조각을 잘라 옮기면 직사각형이나 반원처럼 간단한 도형이 되는 경우가 있습니다.

부채꼴 고리 모양도 빼기로 풉니다. 중심각이 90°이고 바깥 반지름이 8, 안쪽 반지름이 4이면 π × 8² × 1/4 − π × 4² × 1/4 = 16π − 4π = 12π입니다. 반지름이 2배라고 넓이가 2배가 아니라 4배라는 점도 이 계산에서 확인할 수 있습니다.

예제 2 · 정사각형과 사분원

한 변의 길이가 6인 정사각형 ABCD에서 점 B를 중심으로 하는 사분원을 그렸다. 색칠한 부분의 넓이 S와 둘레의 길이를 구하시오.

정사각형에서 사분원을 뺀 부분을 색칠한 그림입니다.
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풀이

(색칠한 부분) = (정사각형) − (사분원) = 6² − π × 6² × 1/4 = 36 − 9π입니다.

둘레는 정사각형의 두 변 AD, DC와 사분원의 호로 이루어지므로 6 + 6 + 2π × 6 × 1/4 = 12 + 3π입니다.

검산: π를 3.14로 두면 넓이는 약 7.74로, 정사각형 넓이 36의 약 1/5입니다. 그림에서 색칠한 부분이 작은 것과 맞습니다.

예제 3 · 두 사분원이 겹친 부분

한 변의 길이가 10인 정사각형 ABCD에서 두 점 B, D를 각각 중심으로 하는 사분원을 그렸다. 두 사분원이 겹친 부분의 넓이를 구하시오.

두 사분원이 겹쳐 생긴 렌즈 모양을 색칠한 그림입니다.
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풀이

두 사분원을 더하면 정사각형 전체를 덮고, 겹친 부분만 두 번 세어집니다.

(겹친 부분) = (사분원) × 2 − (정사각형) = π × 10² × 1/4 × 2 − 10² = 50π − 100입니다.

다른 풀이: 대각선 AC로 나누면 한쪽 조각은 (사분원) − (직각이등변삼각형) = 25π − 50이고, 두 조각이면 50π − 100으로 같습니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

원의 중심을 점으로 찍고 이름을 붙입니다. 사분원의 중심이 B인지 D인지 그림에 없으면 넓이 문제의 조건이 빠집니다.
중심각의 크기와 그림을 맞춥니다. 40°와 120°를 비교하는 문제에서 두 부채꼴이 비슷하게 그려져 있으면 비례 관계를 눈으로 확인할 수 없습니다.
색칠은 인쇄에서 구분되게 합니다. 흑백 인쇄에서 연한 회색은 사라지기 쉬우므로 빗금이나 진한 회색을 씁니다. 여러 조각이 색칠되어 있으면 넓이 문자를 한 조각 위에만 쓰지 않습니다.
π를 쓸지, 근삿값을 쓸지 문제에 밝힙니다. 답을 36 − 9π로 받을지 7.74로 받을지 정해 두어야 채점이 흔들리지 않습니다.
치수선은 정사각형 바깥에 둡니다. 변의 길이를 색칠한 부분 안에 쓰면 호와 겹쳐 읽기 어렵습니다.

쌤로그 도판 편집기의 색칠한 부분 도판은 변의 길이를 바꾸면 넓이 식이 함께 다시 계산되므로, 같은 모양의 문제를 수만 바꾸어 만들 때 검산에 쓸 수 있습니다.

자주 묻는 질문

중심각이 180°보다 큰 부채꼴도 있나요?: 있습니다. 원 위의 두 점으로 나뉜 두 호 중 긴 쪽을 택하면 중심각이 180°보다 큰 부채꼴이 됩니다. 공식은 똑같이 x/360을 곱해 쓰며, 예를 들어 중심각 270°인 부채꼴은 원의 3/4입니다.
부채꼴의 넓이 공식 S = ½rl은 언제 쓰나요?: 반지름과 호의 길이가 주어지고 중심각이 주어지지 않았을 때 씁니다. 중심각을 먼저 구하는 과정을 건너뛸 수 있고, 입체도형 단원에서 원뿔의 옆넓이(전개도의 부채꼴)를 구할 때도 같은 식을 씁니다.
현의 길이가 중심각에 정비례하지 않는데, 현의 길이가 같으면 중심각이 같은 것은 맞나요?: 맞습니다. 같은 원에서 현의 길이가 같으면 두 반지름과 현으로 만든 삼각형이 SSS 합동이므로 중심각이 같습니다. 같다는 관계는 성립하지만 2배, 3배로 늘어나는 정비례 관계는 성립하지 않는다는 뜻입니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.