중1 색칠한 부분의 넓이
정사각형·반원·부채꼴을 더하고 빼서 색칠한 부분의 넓이를 구하는 여덟 가지 모양을 그립니다. 식을 세우는 순서와 π를 남기는 표기를 정리했습니다.
개념 정리
반지름 r인 원의 넓이는 πr², 중심각 θ인 부채꼴의 넓이는 πr² × θ/360, 호의 길이는 2πr × θ/360 입니다. 색칠한 부분은 이 넓이들과 다각형의 넓이를 더하거나 빼서 만듭니다.
식을 세우는 순서는 "큰 도형에서 빈 곳 빼기"와 "같은 조각 몇 개로 보기" 두 가지입니다. 예를 들어 두 사분원이 겹친 렌즈 모양은 (사분원 × 2) − (정사각형), 네 반원의 꽃잎은 (반원 × 4) − (정사각형)입니다.
계산이 막히면 조각을 옮겨 봅니다. 활꼴을 옮겨 삼각형이나 직사각형으로 바꾸면 π가 사라지는 경우가 있습니다. 반원 세 개(아르벨로스) 모양은 둘레가 큰 반원의 호 길이의 두 배, 곧 π × AB 로 정해집니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 정사각형과 사분원: (정사각형) − (사분원)
- 두 사분원이 겹친 부분·네 반원의 꽃잎: 겹친 부분을 두 번 센 뒤 정사각형을 빼는 문제
- 반원 세 개: 큰 반원에서 작은 반원 두 개를 빼고, 둘레도 함께 묻는 문제
- 부채꼴 고리: (큰 부채꼴) − (작은 부채꼴), 옮겨서 간단한 도형 만들기
- 원과 정사각형 사이: 원에 내접한 정사각형의 넓이를 대각선으로 구하는 문제
이 도판은 8가지 보기로 그릴 수 있습니다: 정사각형과 사분원, 두 사분원이 겹친 부분, 반원 세 개, 부채꼴 고리, 부채꼴에서 삼각형 빼기(활꼴 두 개), 옮겨서 간단한 도형 만들기, 네 반원이 만드는 꽃잎, 원과 정사각형 사이.
예제 · 정사각형과 사분원
한 변이 8인 정사각형 안에 한 꼭짓점을 중심으로 반지름 8인 사분원을 그렸다. 사분원 밖의 색칠한 부분의 넓이를 구하시오.
(정사각형) − (사분원) = 64 − π × 8² × 1/4 = 64 − 16π 입니다.
π ≈ 3.14 로 어림하면 약 13.76 으로 정사각형의 약 5분의 1입니다.
예제 · 반원 세 개
선분 AB 위의 점 C에 대해 AC = 6, CB = 4 이다. AB, AC, CB를 지름으로 하는 반원을 같은 쪽에 그릴 때 큰 반원 안에서 작은 두 반원 밖의 넓이와 둘레를 구하시오.
넓이는 π × 5² × ½ − π × 3² × ½ − π × 2² × ½ = (25 − 9 − 4)π ÷ 2 = 6π 입니다.
둘레는 세 호의 합 π × 5 + π × 3 + π × 2 = 10π 로, π × AB 와 같습니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 넓이 답은 기본으로 S로 표시되고, 값을 보이게 하면 π를 남긴 꼴로 적힙니다. 소수 어림값을 쓸지 문제에 밝혀 둡니다.
- "옮겨서 간단한 도형 만들기"의 화살표·옮긴 뒤 모양은 풀이를 보여 주므로 시험지에서는 "표시 안 함"으로 둡니다.
- 꽃잎 보기의 대각선 보조선을 켜면 활꼴 8개로 나누는 두 번째 풀이를 설명하기 좋습니다.
- 원문은 "복잡하게 변형된 평면도형의 넓이와 둘레의 길이"를 구하는 문제는 다루지 않는다고 적고 있습니다(도형과 측정 고려 사항). 여러 모양을 한꺼번에 겹치지 말고, 한두 번 더하거나 빼면 식이 서는 모양과 값을 골라 씁니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 반원의 넓이에 지름을 반지름처럼 넣어 π × 6² × ½ 로 계산합니다.
- 렌즈 모양을 (사분원) − (정사각형의 절반)으로 구한 뒤 2배 하는 것을 빠뜨립니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.