중1 부채꼴의 호의 길이와 넓이
부채꼴의 호의 길이·넓이, 호의 길이로 넓이 구하기, 중심각 구하기, 활꼴의 넓이, 부채꼴의 둘레를 그리는 도판입니다([9수03-06]). 공식이 나오는 이유와 π 계산 요령을 정리했습니다.
개념 정리
반지름 r인 원의 둘레는 2πr, 넓이는 πr² 입니다. 중심각이 x° 인 부채꼴은 원의 x/360 만큼이므로 호의 길이 l = 2πr × x/360, 넓이 S = πr² × x/360 입니다.
두 식을 나누면 S ÷ l = r/2 이므로 S = ½ r l 입니다. 중심각을 몰라도 반지름과 호의 길이만 알면 넓이를 바로 구할 수 있습니다. 부채꼴을 잘게 나눠 번갈아 붙이면 가로 ½l, 세로 r인 직사각형에 가까워진다는 설명도 같은 결과입니다.
활꼴의 넓이는 (부채꼴의 넓이) − (삼각형 OAB의 넓이)입니다. 중심각이 90° 이면 삼각형 넓이가 ½r² 이라 바로 계산되고, 다른 각이면 높이 AH를 주어 ½ × OB × AH 로 구합니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 반지름과 중심각으로 호의 길이와 넓이: r = 6, 120° → l = 4π, S = 12π
- 반지름과 호의 길이로 넓이: r = 8, l = 3π → S = ½ × 8 × 3π = 12π
- 중심각 구하기: r = 9, l = 4π → 2π × 9 × x/360 = 4π, x = 80°
- 활꼴의 넓이: r = 6, 90° → 9π − 18
- 부채꼴의 둘레: 호의 길이에 반지름 두 개를 더합니다. r = 5, 72° → 2π + 10
이 도판은 5가지 보기로 그릴 수 있습니다: 반지름과 중심각, 반지름과 호의 길이로 넓이, 중심각 구하기, 활꼴의 넓이, 부채꼴의 둘레.
예제 · 넓이로 중심각 구하기
반지름이 10 cm이고 넓이가 15π cm² 인 부채꼴의 중심각의 크기를 구하시오.
π × 10² × x/360 = 15π 이므로 x/360 = 15/100, x = 54° 입니다.
예제 · 둘레와 활꼴
반지름이 8 cm, 중심각이 45° 인 부채꼴의 둘레를 구하시오. 또 반지름이 4 cm, 중심각이 90° 인 부채꼴에서 활꼴의 넓이를 구하시오.
호의 길이 = 2π × 8 × 45/360 = 2π 이므로 둘레 = (2π + 16) cm 입니다.
활꼴 = π × 4² × ¼ − ½ × 4 × 4 = (4π − 8) cm² 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 호의 길이·넓이 값은 "π의 계수"로 입력합니다. 넓이 12π 이면 12를 넣습니다. "반지름과 호의 길이로 넓이" 보기에서는 π를 쓰지 않는 소수 문제로도 바꿀 수 있습니다.
- 구하는 값(l, S, x)은 기호로 두고, 문제 글에서 무엇을 구하는지 밝힙니다. 그림에 답이 남지 않게 인쇄 전 미리보기에서 확인합니다.
- 활꼴 보기는 중심각이 30°~160° 로 제한됩니다. 너무 작거나 크면 활꼴이 가늘어져 인쇄했을 때 음영이 잘 보이지 않습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 부채꼴의 둘레에서 반지름 두 개를 빠뜨리고 호의 길이만 답합니다.
- S = ½ r l 에 지름을 넣거나, 활꼴 넓이에서 삼각형을 빼지 않고 더합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.