중1 다각형의 내각과 외각

중1 · 평면도형 · 최종 수정 2026-09-30

다각형의 내각의 합, 외각의 합, 정다각형, 별 모양, 한 변을 공유하는 두 정다각형을 그립니다. 180° × (n − 2)와 360°가 어디서 나오는지와 활용을 정리했습니다.

이 도판 값 바꿔 만들기

개념 정리

원문은 다각형의 내각과 외각의 크기의 합, 대각선의 개수를 구하는 과정을 탐구해 성질을 일반화하게 한다고 적고 있고([9수03-05] 해설), 다각형은 그 모양이 볼록인 경우만 다룹니다(도형과 측정 고려 사항). n각형은 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 (n − 2)개의 삼각형으로 나눌 수 있으므로 내각의 합은 180° × (n − 2) 입니다. 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선은 n − 3개, 전체 대각선은 n(n − 3) ÷ 2 개입니다.

꼭짓점마다 내각과 외각의 합이 180° 이므로 n개를 모두 더하면 180° × n 이고, 여기서 내각의 합을 빼면 외각의 합은 n과 관계없이 360° 입니다.

정n각형의 한 내각은 180° × (n − 2) ÷ n, 한 외각은 360° ÷ n 입니다. 꼭짓점이 5개인 별 모양의 다섯 끝 각의 합은 외각 성질을 두 번 써서 180°가 되고, 꼭짓점을 하나씩 건너뛰며 이은 칠각별은 안쪽 칠각형의 변마다 삼각형이 생겨 180° × 7 − 360° × 2 = 540° 입니다.

시험·학습지에 자주 나오는 형태

• 내각의 합: 한 각만 x로 두고 180° × (n − 2)에서 나머지를 빼는 문제
• 외각의 합: 360°에서 나머지 외각을 빼는 문제
• 정다각형: 한 외각이나 한 내각을 주고 n, 대각선 개수를 묻는 문제
• 별 모양: 끝 각의 합이 180°(또는 540°)임을 이용하는 문제. 별 모양 자체는 볼록다각형이 아니므로 다각형의 내각의 합 공식을 쓰지 않고, 삼각형의 외각 성질과 안쪽 볼록다각형으로 계산합니다
• 한 변을 공유하는 두 정다각형: 공유한 꼭짓점의 각, 두 꼭짓점을 이은 이등변삼각형의 밑각

이 도판은 5가지 보기로 그릴 수 있습니다: 내각의 합, 외각의 합, 정다각형, 별 모양의 각, 한 변을 공유하는 정다각형.

도판을 만들 때 챙길 점

• 내각·외각 보기에서 꼭짓점 수를 4~7로 바꿀 수 있습니다. 한 각이 180°에 가까우면 꼭짓점이 보이지 않으므로 170° 이하로 둡니다.
• 정다각형 보기의 "중심에서 꼭짓점 잇기"와 "한 꼭짓점에서 대각선"은 공식 유도 설명용입니다. 계산 문제에서는 끕니다.
• 별 모양은 각의 차이가 너무 크면 모양이 무너집니다. 5개짜리는 36° 근처, 7개짜리는 77° 근처로 맞춥니다.

학생들이 자주 틀리는 부분

• 외각의 합을 180° × (n − 2)로 계산하거나 n에 따라 커진다고 생각합니다.
• 정n각형의 한 내각을 180° ÷ n 으로 씁니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.