다각형의 내각의 합과 외각의 합, 삼각형의 외각 정리

중1 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

다각형의 각 단원에는 공식이 여러 개 나오지만 뿌리는 하나입니다. 삼각형의 내각의 합은 180°라는 사실입니다. 다각형은 대각선으로 삼각형 여러 개로 나눌 수 있고, 외각은 내각과 합해 180°가 되므로, 이 한 사실에서 내각의 합, 외각의 합, 정다각형의 한 각이 모두 나옵니다.

이 글에서는 삼각형의 내각과 외각 → n각형의 내각의 합 → 외각의 합 → 정다각형 → 별 모양의 각 순서로 정리합니다. 공식마다 어디서 왔는지 한두 줄로 설명을 붙였으니, 학생에게 설명할 때 그대로 쓰셔도 됩니다.

삼각형의 내각의 합과 외각의 성질

삼각형 ABC의 꼭짓점 A를 지나고 변 BC에 평행한 직선을 그으면, 이 직선 위에서 ∠B와 엇각인 각, ∠C와 엇각인 각이 ∠A의 양옆에 생깁니다. 세 각이 한 직선 위에 모이므로 ∠A + ∠B + ∠C = 180°입니다. 평행선의 엇각만으로 설명되므로 평행선 단원과 이어서 가르치면 좋습니다.

삼각형의 한 변의 연장선과 이웃한 변이 이루는 각을 외각이라고 합니다. 꼭짓점 C의 외각 ∠ACD는 ∠ACB와 합해 180°이고, ∠A + ∠B도 180° − ∠ACB이므로 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같습니다.

그림에서 ∠x = 70° + 45° = 115°입니다. 내각 ∠ACB를 먼저 구해 180° − 65°로 계산해도 같은 답이 나오지만, 외각의 성질을 쓰면 한 번에 끝납니다. 이 성질은 뒤의 별 모양 문제와 나중에 배우는 이등변삼각형 문제에서 계속 쓰입니다.

n각형의 내각의 합: 180° × (n − 2)

n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그으면, 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 (n − 3)개의 대각선이 생기고 다각형은 (n − 2)개의 삼각형으로 나뉩니다. 삼각형 하나의 내각의 합이 180°이므로 n각형의 내각의 합은 180° × (n − 2)입니다. 오각형은 삼각형 3개로 나뉘므로 540°, 육각형은 4개로 나뉘므로 720°입니다.

대각선의 개수도 같은 생각에서 나옵니다. 꼭짓점 n개에서 각각 (n − 3)개씩 그으면 n(n − 3)개인데, 대각선 하나를 양 끝에서 두 번 센 것이므로 2로 나누어 n(n − 3) ÷ 2개입니다.

외각의 합은 항상 360°

다각형의 각 꼭짓점에서 내각과 외각의 합은 180°입니다. n각형에는 꼭짓점이 n개 있으므로 (내각의 합) + (외각의 합) = 180° × n이고, 여기서 내각의 합 180° × (n − 2)를 빼면 외각의 합은 180° × 2 = 360°입니다. n이 없어지므로 삼각형이든 백각형이든 외각의 합은 360°로 같습니다.

그림에서 네 외각의 합은 65° + 80° + 70° + 60° = 275°이므로 ∠x = 360° − 275° = 85°입니다. 외각의 합이 360°라는 것은 다각형의 변을 따라 한 바퀴 걸으면 꼭짓점마다 외각만큼 방향을 틀어 결국 한 바퀴(360°)를 돌아 제자리를 향하게 된다는 뜻이기도 합니다.

정다각형의 한 내각과 한 외각

정다각형은 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 같으므로, 한 외각은 360° ÷ n, 한 내각은 180° − (360° ÷ n) 또는 180° × (n − 2) ÷ n입니다. 계산은 외각으로 하는 편이 빠릅니다. 한 외각에서 n을 거꾸로 구할 수도 있습니다.

정육각형은 삼각형 4개로 나뉘어 내각의 합이 720°이므로 한 내각은 720° ÷ 6 = 120°, 한 외각은 360° ÷ 6 = 60°입니다. 120° + 60° = 180°로 맞습니다.

별 모양의 다섯 각의 합

꼭짓점이 다섯 개인 별 모양에서 다섯 뾰족한 각의 합은 항상 180°입니다. 삼각형의 외각의 성질을 두 번 쓰면 설명됩니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 외각은 변의 연장선을 그려서 표시합니다. 연장선 없이 호만 그리면 내각인지 외각인지 구별되지 않습니다. 연장 방향도 한 방향(시계 또는 반시계)으로 통일해야 외각이 한 꼭짓점에 하나씩 생깁니다.
• 주어진 각의 합이 공식과 맞는지 확인합니다. 오각형에 네 내각을 주었는데 합이 540°를 넘으면 문제가 성립하지 않습니다. 구하는 각이 0°보다 크고 180°보다 작은지도 봅니다.
• 그림의 각을 실제 크기에 가깝게 그립니다. 95°라고 쓴 각이 예각으로 그려져 있으면 학생이 그림을 보고 답을 의심합니다.
• 대각선 보조선은 해설지에만 넣습니다. 내각의 합을 유도하는 문제에서 대각선이 그어져 있으면 삼각형 개수가 그대로 보입니다.
• 별 모양은 뾰족한 각만 표시합니다. 안쪽 오각형의 각까지 호를 그리면 어떤 각을 구하는지 헷갈립니다.

쌤로그 도판 편집기의 다각형 도판은 내각이나 외각을 바꾸면 합이 맞는 모양으로 다시 그려 주고, 합이 맞지 않으면 알려 주므로 성립하지 않는 문제를 거를 수 있습니다.

자주 묻는 질문

오목한 다각형에도 내각의 합 공식이 맞나요?

오목한 꼭짓점의 내각을 180°보다 큰 각으로 재면 내각의 합은 180° × (n − 2)로 같습니다. 다만 교육과정 원문의 도형과 측정 고려 사항에 "다각형과 다면체는 그 모양이 볼록인 경우만 다룬다"고 되어 있으므로, 중학교 수업과 시험지는 볼록한 다각형으로 한정합니다. 이 글의 외각의 합 360°도 볼록한 다각형을 기준으로 설명한 것입니다.

한 내각과 한 외각의 크기의 비가 3 : 1인 정다각형은 무엇인가요?

두 각의 합이 180°이므로 한 외각은 180° × 1/4 = 45°입니다. 360° ÷ 45° = 8이므로 정팔각형입니다. 한 내각 135°와 비교하면 135 : 45 = 3 : 1로 맞습니다.

삼각형의 외각의 합도 360°인가요?

네. 각 꼭짓점에서 외각을 하나씩 잡으면 세 외각의 합은 360°입니다. 한 꼭짓점에 외각이 두 개(맞꼭지각) 생기지만 하나만 셉니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.