좌표평면과 정비례·반비례 그래프, 도형의 넓이까지

중1 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

좌표평면과 그래프 단원([9수02-05]~[9수02-07])은 수직선 두 개를 직각으로 겹쳐 점의 위치를 두 수로 나타내는 데서 시작합니다. 이어서 시간에 따라 변하는 양을 그래프로 읽고, 마지막에 정비례와 반비례라는 두 가지 대표적인 관계를 식과 그래프로 연결합니다. 뒤에 배우는 일차함수와 이차함수가 모두 이 단원 위에 쌓이므로, 여기서 들인 "점의 좌표를 식에 넣는다"는 습관이 뒤 단원에서 그대로 쓰입니다.

이 글은 좌표와 사분면 → 좌표평면 위 도형의 넓이 → 상황 그래프 → 정비례 → 반비례 순서로 정리하고, 그래프 문제를 시험지에 넣을 때 눈금과 식을 어디까지 보여 줄지도 함께 다룹니다.

순서쌍과 좌표, 네 개의 사분면

가로 수직선을 x축, 세로 수직선을 y축이라 하고, 두 축이 만나는 점을 원점 O라고 합니다. 점 P에서 x축에 수직인 직선을 그어 만나는 눈금이 a, y축에 수직인 직선을 그어 만나는 눈금이 b이면 점 P의 좌표를 P(a, b)로 씁니다. 순서를 바꾼 (b, a)는 다른 점이므로 이런 두 수의 짝을 순서쌍이라고 부릅니다.

좌표축은 평면을 네 부분으로 나누며, 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 제1사분면, 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 합니다. 그림에서 A(3, 2)는 제1사분면, B(−2, 4)는 제2사분면, C(−4, −1)은 제3사분면, D(1, −3)은 제4사분면에 있습니다. E(0, −2)처럼 좌표축 위에 있는 점은 어느 사분면에도 속하지 않습니다.

대칭인 점도 부호로 정리됩니다. 점 (a, b)와 x축에 대하여 대칭인 점은 (a, −b), y축에 대하여 대칭인 점은 (−a, b), 원점에 대하여 대칭인 점은 (−a, −b)입니다. "x축에 대하여 대칭이면 x좌표는 그대로"라고 기억하면 헷갈리지 않습니다.

좌표평면 위 도형의 넓이

세 점의 좌표가 주어진 삼각형의 넓이는 두 가지 방법으로 구합니다. 한 변이 축에 평행하면 그 변을 밑변으로 삼고, 밑변의 길이와 높이를 좌표의 차로 계산합니다. 축에 평행한 변이 없으면 삼각형을 둘러싸는 직사각형을 그리고, 바깥의 직각삼각형들을 뺍니다.

상황을 나타낸 그래프 읽기

그래프는 두 양이 함께 변하는 모습을 한눈에 보여 줍니다. 가로축은 보통 시간처럼 먼저 정해지는 양, 세로축은 그에 따라 변하는 양입니다. 그래프를 읽을 때는 구간을 나누고 각 구간에서 올라가는지, 내려가는지, 그대로인지, 그리고 기울어진 정도가 일정한지 확인합니다.

위 그래프는 네 구간으로 읽습니다. 0분에서 4분까지는 곡선이 점점 가파르게 올라가므로 물의 높이가 점점 빠르게 높아져 20 cm가 됩니다. 4분에서 8분까지는 직선이므로 일정하게 높아져 4분 동안 30 cm, 1분에 7.5 cm씩 올라갑니다. 8분에서 11분까지는 수평이므로 물을 넣지 않은 구간입니다. 11분에서 15분까지는 점점 완만해지므로 높아지는 빠르기가 줄어들며 80 cm에 이릅니다.

정비례 y = ax의 그래프

x가 2배, 3배, …가 될 때 y도 2배, 3배, …가 되는 관계를 정비례라고 하며, 식은 y = ax (a ≠ 0)입니다. x의 값이 수 전체일 때 그래프는 원점을 지나는 직선입니다. x = 0이면 y = 0이므로 반드시 원점을 지나고, x = 1이면 y = a이므로 점 (1, a)도 지납니다. 두 점만 찍으면 그래프를 그릴 수 있습니다.

a > 0이면 그래프는 오른쪽 위로 향하고 제1사분면과 제3사분면을 지납니다. a < 0이면 오른쪽 아래로 향하고 제2사분면과 제4사분면을 지납니다. 또 a의 절댓값이 클수록 그래프가 y축에 가까워집니다. 그림에서 y축에 가까운 것부터 l(|2|), n(|−1|), m(|½|) 순서입니다. 부호와 기울어진 정도를 따로 보는 것이 요령입니다.

반비례 y = a/x의 그래프

x가 2배, 3배, …가 될 때 y는 1/2배, 1/3배, …가 되는 관계를 반비례라고 하며, 식은 y = a/x (a ≠ 0)입니다. 식을 xy = a로 바꾸어 보면 x좌표와 y좌표의 곱이 항상 a로 일정하다는 뜻입니다. x = 0에서는 정의되지 않으므로 그래프는 좌표축과 만나지 않는 한 쌍의 매끄러운 곡선입니다. a > 0이면 제1, 3사분면, a < 0이면 제2, 4사분면에 그려집니다.

그림의 빗금 친 직사각형은 가로가 점 P의 x좌표, 세로가 y좌표입니다. P가 y = 8/x 위에 있으면 x좌표 × y좌표 = 8이므로 직사각형의 넓이는 항상 8입니다. P(2, 4)이든 P(4, 2)이든 P(8, 1)이든 같습니다. 이 성질 때문에 반비례 그래프 위의 점으로 만든 직사각형 문제는 좌표를 몰라도 넓이가 |a|로 정해집니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 모눈 간격과 축 눈금을 1:1로 맞춥니다. 가로와 세로 간격이 다르면 정비례 그래프의 기울어진 정도가 달라 보여 "어느 그래프가 y축에 더 가까운가" 같은 문제의 답이 그림과 어긋납니다.
• 구하는 좌표는 눈금 숫자에서 뺍니다. 교점의 좌표를 묻는 문제에 점선과 눈금값이 함께 있으면 답이 드러납니다. 식을 주고 점만 찍어 두는 편이 좋습니다.
• 식을 그래프 옆에 쓸지 정합니다. 세 직선을 비교하는 문제에 식을 쓰면 그림 없이 풀리므로 l, m, n 같은 이름만 붙입니다.
• 반비례 곡선은 축에 닿지 않게 그립니다. 손으로 그리면 끝이 축에 붙기 쉬운데, 학생이 "그래프가 축과 만난다"고 오해할 수 있습니다.
• 상황 그래프에는 축 이름과 단위를 씁니다. 시간(분), 높이(cm)가 없으면 "1분에 몇 cm"를 물을 수 없습니다.

쌤로그 도판 편집기에서 비례상수나 점의 x좌표를 바꾸면 넓이와 교점이 다시 계산되므로, 모눈 간격이 고른 그래프를 수만 바꿔 여러 장 만들 수 있습니다.

자주 묻는 질문

정비례 그래프는 항상 직선인가요?

x의 값이 수 전체이면 원점을 지나는 직선입니다. 문제에서 x의 값을 1, 2, 3, 4처럼 자연수로 제한하면 그래프는 직선 위의 점 몇 개로만 그려집니다. 그래서 x의 값의 범위를 먼저 확인해야 합니다.

y = 3/x에서 x = 0이면 y는 얼마인가요?

0으로 나눌 수 없으므로 x = 0일 때의 y의 값은 없습니다. 그래서 반비례 그래프는 y축과 만나지 않습니다. 같은 이유로 y = 0이 되는 x도 없으므로 x축과도 만나지 않습니다.

원점은 어느 사분면에 속하나요?

어느 사분면에도 속하지 않습니다. 원점 (0, 0)은 x축과 y축 위에 동시에 있는 점이고, 사분면은 좌표축을 뺀 네 부분입니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.