중1 반비례 그래프와 직사각형
반비례 y = a/x의 그래프 위의 점 P에서 두 좌표축에 수선을 내려 만든 직사각형을 그립니다. 넓이가 항상 |a|인 까닭과 a의 부호를 정하는 법을 정리했습니다.
개념 정리
반비례 y = a/x (a ≠ 0)에서는 x가 2배, 3배가 되면 y는 1/2배, 1/3배가 되고, 곱 xy는 언제나 a로 일정합니다. 그래프는 a > 0이면 제1, 3사분면, a < 0이면 제2, 4사분면을 지나는 한 쌍의 매끄러운 곡선이며, 좌표축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않습니다.
그래프 위의 점 P(p, q)에서 x축, y축에 수선을 그어 생기는 직사각형의 가로는 |p|, 세로는 |q|입니다. pq = a이므로 넓이는 |p| × |q| = |a|로, 점 P가 그래프 위 어디에 있든 같습니다. 원점과 P, 수선의 발 하나로 만든 삼각형의 넓이는 그 절반인 |a|/2입니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 직사각형의 넓이가 8이고 점 P가 제2사분면에 있을 때 a = −8 구하기
- 점 P의 x좌표만 주고 y좌표 구하기: y = 6/x에서 x = 2이면 y = 3
- 점 P를 옮겨도 직사각형의 넓이가 그대로임을 확인하는 문제
- 원점, 점 P, 수선의 발로 만든 삼각형의 넓이(|a|/2) 구하기
- 그래프 위의 두 점 P, Q로 만든 두 직사각형의 넓이가 같다는 것을 이용해 겹치지 않은 부분끼리 넓이가 같음을 보이기
예제 · 한 점으로 식을 정하고 넓이 구하기
반비례 관계의 그래프가 점 (−3, 4)를 지난다. 이 그래프 위의 점 Q의 x좌표가 6일 때, Q의 y좌표와 Q에서 두 좌표축에 내린 수선이 만드는 직사각형의 넓이를 구하시오.
풀이
y = a/x에 (−3, 4)를 넣으면 a = −3 × 4 = −12입니다.
Q의 y좌표는 −12 ÷ 6 = −2이고, 직사각형의 넓이는 6 × 2 = 12로 |a|와 같습니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 점 P의 x좌표는 a의 약수로 잡아야 y좌표가 정수가 되어 읽기 쉽습니다. a = 6이면 x = 1, 2, 3, 6이 알맞습니다.
- "그래프의 식"을 끄고 "넓이 쓰기"를 켜면 넓이로 식을 구하는 문제, 반대로 하면 식으로 넓이를 구하는 문제가 됩니다. 비례상수 a를 문자로 숨길 수도 있습니다.
- "축에 점 P의 좌표 눈금값"은 그래프에서 좌표를 읽게 하는 문제에만 켭니다. 눈금값과 식을 함께 보여 주면 답이 바로 나옵니다.
- 직사각형 빗금은 흑백 인쇄에서도 구별되므로 넓이 문제에서 켜 둡니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 넓이는 양수이므로 제2사분면의 점인데도 a를 양수로 답합니다.
- 반비례 그래프를 원점을 지나거나 좌표축과 만나는 곡선으로 그립니다.
- x좌표가 음수인 점에서 직사각형의 가로를 음수 그대로 곱해 넓이를 음수로 답합니다. 길이는 절댓값으로 씁니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.