중1 그릇의 모양과 물의 높이 그래프
여러 모양의 그릇에 일정한 속도로 물을 넣을 때 물의 높이 그래프를 고르고 짝 짓습니다. 단면의 넓이와 높이가 오르는 빠르기의 관계, 2단 그릇의 꺾이는 시각 계산을 정리했습니다.
개념 정리
일정한 속도로 물을 넣으면 같은 시간마다 같은 부피가 들어갑니다. 높이가 오르는 빠르기는 (1분에 넣는 물의 양) ÷ (그 높이에서 물 표면의 넓이)이므로, 넓은 곳에서는 천천히, 좁은 곳에서는 빠르게 높아집니다.
폭이 일정한 원기둥은 직선, 위로 갈수록 넓어지는 그릇은 점점 완만해지는 곡선, 위로 갈수록 좁아지는 그릇은 점점 가팔라지는 곡선입니다. 가운데가 불룩한 항아리는 완만해졌다가 다시 가팔라집니다. 폭이 다른 두 직육면체를 쌓은 그릇은 기울기가 다른 두 선분이 한 점에서 꺾입니다.
밑넓이 100 cm², 높이 10 cm인 직육면체 위에 밑넓이 50 cm², 높이 10 cm인 직육면체를 쌓고 1분에 250 cm³씩 넣으면, 아래는 1000 ÷ 250 = 4분, 위는 500 ÷ 250 = 2분 걸립니다. 그래프는 (4, 10)에서 꺾여 6분에 20 cm가 됩니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 알맞은 그래프 고르기: 그릇 하나를 주고 ①~⑤ 중 물의 높이 그래프 고르기
- 그릇과 그래프 짝 짓기: 그릇 A, B, C와 그래프 1, 2, 3을 연결하기
- 두 직육면체를 쌓은 그릇: 꺾이는 시각, 가득 차는 시각, 구간별로 1분에 높아지는 높이 구하기
- 거꾸로 묻기: 처음에 가파르다가 완만해지는 그래프를 보고 그릇의 모양 추측하기
이 도판은 3가지 보기로 그릴 수 있습니다: 알맞은 그래프 고르기, 그릇과 그래프 짝짓기, 두 직육면체를 쌓은 그릇.
예제 · 위가 넓은 2단 그릇
밑넓이 80 cm², 높이 15 cm인 직육면체 위에 밑넓이 120 cm², 높이 10 cm인 직육면체를 쌓은 그릇에 1분에 200 cm³씩 물을 넣는다. 그래프가 꺾이는 시각과 물이 가득 차는 시각을 구하시오.
아래 부분의 부피는 80 × 15 = 1200 cm³이므로 1200 ÷ 200 = 6분 후 높이 15 cm에서 꺾입니다.
위 부분의 부피도 120 × 10 = 1200 cm³이므로 6분이 더 걸려 12분 후 25 cm로 가득 찹니다. 1분에 아래는 2.5 cm, 위는 5/3 cm씩 높아지므로 꺾인 뒤 그래프가 더 완만합니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- 고르기 보기는 보기 개수(3~5개)와 정답 번호를 정하면 나머지 보기 그래프가 자동으로 배치됩니다. 문제마다 정답 번호를 바꿔 답이 한 번호에 몰리지 않게 합니다.
- 짝 짓기 보기는 그릇 A, B, C의 모양이 서로 달라야 하고, "그래프 1, 2, 3에 놓을 그릇" 순서로 답을 섞습니다.
- 2단 그릇 보기는 넓이와 넣는 양이 나누어떨어지게 잡아야 꺾이는 시각이 정수로 나옵니다. 아래와 위의 밑넓이는 달라야 합니다.
- "그릇 속 물 음영"은 그릇 모양을 보여 주는 데 도움이 되고, "가득 찬 점 점선"은 정답지에서 켭니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 넓은 부분에서 물의 높이가 더 빨리 오른다고 거꾸로 생각합니다.
- 그래프를 그릇의 옆모습처럼 그려, 위가 넓은 그릇의 그래프를 위로 벌어지는 모양으로 고릅니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.