수직선과 절댓값, 두 점 사이의 거리와 가운데 점 정리
정수와 유리수 단원([9수01-03]~[9수01-05])은 수직선 한 장으로 거의 모든 내용을 설명할 수 있습니다. 음수의 뜻, 수의 대소, 절댓값, 정수의 덧셈과 뺄셈이 모두 "수직선 위에서 어느 쪽으로 얼마나 떨어져 있는가"라는 질문으로 바뀌기 때문입니다. 반대로 수직선 없이 규칙만 외운 학생은 −5와 −2 중 어느 것이 큰지, |−3|이 왜 3인지에서 자주 멈춥니다.
이 글에서는 점 읽기 → 절댓값 → 두 점 사이의 거리 → 가운데 점 → 수직선 위의 이동 순서로 정리하고, 수직선 문제를 시험지에 넣을 때 눈금과 이름을 어떻게 두어야 하는지도 함께 다룹니다.
수직선 위의 점이 나타내는 수 읽기
수직선은 직선 위에 기준점 0(원점)을 정하고, 같은 간격으로 눈금을 매긴 뒤 오른쪽에 양수, 왼쪽에 음수를 대응시킨 것입니다. 그래서 수직선에서는 오른쪽에 있는 점일수록 큰 수를 나타냅니다. 이 한 문장이 대소 비교의 전부입니다.
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위 그림에서 점 B는 1, 점 C는 4를 나타냅니다. 점 A는 −3과 −2 사이의 한가운데에 있으므로 −2.5, 분수로는 −5/2입니다. 학생들이 여기서 가장 많이 하는 실수는 "−2 다음 칸"이라고 생각해 −1.5로 읽는 것입니다. 음수 쪽에서는 왼쪽으로 갈수록 수가 작아지므로, −2에서 왼쪽으로 0.5만큼 간 점은 −2.5입니다.
눈금 한 칸이 1이 아닌 수직선도 자주 나옵니다. 이때는 먼저 한 칸의 크기를 구합니다. 두 수 사이를 몇 칸으로 나누었는지 세고, (오른쪽 수 − 왼쪽 수) ÷ (칸 수)를 계산하면 됩니다.
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그림에서 −1과 2 사이는 3만큼 떨어져 있고 6칸으로 나뉘어 있으므로 한 칸은 3 ÷ 6 = 1/2입니다. 점 x는 −1에서 5칸 오른쪽이므로 x = −1 + 5 × 1/2 = 3/2입니다. 검산으로 2에서 한 칸 왼쪽이 2 − 1/2 = 3/2인지 확인하면 같은 값이 나옵니다.
절댓값: 원점까지의 거리
어떤 수의 절댓값은 수직선에서 그 수를 나타내는 점과 원점 사이의 거리입니다. 거리는 방향과 관계가 없으므로 절댓값은 0 또는 양수이고, 부호를 떼어 낸 크기와 같습니다. 기호로는 |−4| = 4, |+4| = 4처럼 씁니다.
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그림처럼 원점에서 거리가 4인 점은 두 개입니다. 그래서 "절댓값이 4인 수"를 물으면 답은 −4와 4 두 개이고, 0만은 예외로 절댓값이 0인 수가 0 하나뿐입니다. 절댓값을 거리로 이해하면 다음 성질이 따로 외우지 않아도 나옵니다.
| 성질 | 수직선으로 본 이유 | 예 |
|---|---|---|
| 절댓값은 0 이상이다 | 거리는 음수가 될 수 없다 | |−7| = 7, |0| = 0 |
| 절댓값이 같은 수는 두 개(0 제외) | 원점의 양쪽에 같은 거리의 점이 하나씩 있다 | |x| = 2이면 x = −2 또는 2 |
| 절댓값이 작을수록 0에 가깝다 | 원점까지의 거리가 짧다 | −1은 3보다 0에 가깝다 |
| 음수끼리는 절댓값이 큰 수가 작다 | 원점에서 왼쪽으로 멀수록 수직선의 왼쪽에 있다 | −5 < −2 (|−5| > |−2|) |
예제 1 · 절댓값의 범위와 정수의 개수
절댓값이 7/2 이하인 정수는 모두 몇 개인지 구하시오.
7/2 = 3.5이므로 원점에서 거리가 3.5 이하인 정수를 찾습니다.
원점의 오른쪽에서 0, 1, 2, 3, 왼쪽에서 −1, −2, −3이 조건에 맞습니다. 4는 거리가 4이므로 3.5보다 멉니다.
따라서 −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3의 7개입니다. 0을 빼먹고 6개라고 답하는 경우가 많으니 원점도 셉니다.
두 점 사이의 거리와 가운데 점
수직선 위의 두 점 사이의 거리는 (오른쪽 점의 수) − (왼쪽 점의 수)입니다. 큰 수에서 작은 수를 빼면 항상 0 이상의 값이 나옵니다. 두 수의 순서를 모를 때는 빼서 나온 값의 절댓값을 쓰면 됩니다. 즉 두 수 a, b를 나타내는 두 점 사이의 거리는 |a − b|입니다.
부호에 따라 나누어 보면 계산이 더 잘 보입니다. −4와 3처럼 두 수의 부호가 다르면 두 점이 원점의 양쪽에 있으므로 거리는 절댓값의 합 4 + 3 = 7입니다. −5와 −2처럼 부호가 같으면 한쪽에 몰려 있으므로 거리는 절댓값의 차 5 − 2 = 3입니다. 두 경우 모두 (큰 수) − (작은 수)인 3 − (−4) = 7, −2 − (−5) = 3과 같습니다.
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두 점 A, B에서 같은 거리에 있는 점 M은 선분 AB의 한가운데에 있습니다. 구하는 방법은 두 가지입니다. 첫째, 거리의 절반만큼 이동합니다. AB = 7이므로 절반은 3.5이고, A에서 오른쪽으로 3.5만큼 가면 −4 + 3.5 = −0.5입니다. 둘째, 두 수의 평균을 구합니다. (−4 + 3) ÷ 2 = −0.5로 같은 답이 나옵니다.
예제 2 · 절댓값이 같은 두 수
두 수 a, b의 절댓값이 같고, 수직선에서 a를 나타내는 점이 b를 나타내는 점보다 왼쪽으로 8만큼 떨어져 있다. a, b의 값을 구하시오.
절댓값이 같은 서로 다른 두 수는 원점에서 양쪽으로 같은 거리에 있으므로, 두 점의 가운데 점은 원점입니다.
두 점 사이의 거리가 8이므로 각 점은 원점에서 8 ÷ 2 = 4만큼 떨어져 있습니다. a가 왼쪽에 있으므로 a = −4, b = 4입니다.
검산: |−4| = |4| = 4이고, 4 − (−4) = 8입니다.
수직선 위의 이동으로 보는 덧셈과 뺄셈
정수의 덧셈은 수직선 위의 이동으로 설명할 수 있습니다. 양수를 더하면 오른쪽으로, 음수를 더하면 왼쪽으로 그 절댓값만큼 움직입니다. 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더하는 것과 같으므로, 5 − (−2)는 5 + (+2)로 보고 오른쪽으로 2만큼 움직입니다.
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그림은 (−2) + (+6) + (−3)을 나타냅니다. −2에서 오른쪽으로 6만큼 가면 4에 도착하고, 다시 왼쪽으로 3만큼 가면 1에 도착하므로 x = 1입니다. 이 방식은 "점 P가 처음 위치에서 오른쪽으로 몇 칸, 왼쪽으로 몇 칸 움직였다" 같은 문장제를 식으로 옮길 때 특히 쓸모가 있습니다.
예제 3 · 두 점 사이의 거리와 가운데 점
수직선 위의 두 점 P, Q가 나타내는 수가 각각 −7, 3이다. 두 점 사이의 거리와, 두 점에서 같은 거리에 있는 점이 나타내는 수를 구하시오.
거리는 (큰 수) − (작은 수) = 3 − (−7) = 10입니다. 부호가 다르므로 절댓값의 합 7 + 3 = 10과도 같습니다.
가운데 점은 P에서 오른쪽으로 10 ÷ 2 = 5만큼 간 점이므로 −7 + 5 = −2입니다.
검산: −2 − (−7) = 5, 3 − (−2) = 5로 양쪽 거리가 같습니다.
시험지 그림을 만들 때 챙길 점
- 눈금 간격을 정확히 맞춥니다. 손으로 그린 수직선은 칸이 조금씩 달라져, 한가운데 점이 한쪽으로 치우쳐 보입니다. −2.5를 찍었는데 −2.3처럼 보이면 읽기 문제의 답이 흔들립니다.
- 구하는 수는 눈금 숫자를 지웁니다. 점 x가 1을 가리키는 문제에서 1 눈금 숫자가 그대로 있으면 답이 드러납니다. 도판 도구에서 도착한 수를 모르는 값으로 두면 그 자리 눈금 숫자가 빠집니다.
- 음수는 긴 빼기 기호(−)로 씁니다. 짧은 하이픈(-)은 인쇄하면 잘 보이지 않아 −3을 3으로 읽는 학생이 생깁니다.
- 점 이름과 수의 위치를 나눕니다. 점 이름(A, B)은 수직선 위에, 눈금 숫자는 아래에 두면 "점 A의 좌표"와 "눈금"이 섞이지 않습니다.
- 범위는 필요한 만큼만 잡습니다. −10부터 10까지 모두 그리면 칸이 좁아져 분수 점을 찍기 어렵습니다. 문제에 나오는 수보다 한두 칸만 넓게 잡는 편이 읽기 쉽습니다.
쌤로그 도판 편집기에서는 위 그림들의 수를 바꾸면 거리와 가운데 점, 이동한 결과가 자동으로 다시 계산되므로, 같은 유형의 문제를 수만 바꾸어 여러 개 만들 때 검산 부담을 줄일 수 있습니다.
자주 묻는 질문
- 두 점 사이의 거리를 구할 때 빼는 순서가 중요한가요?
- 작은 수에서 큰 수를 빼면 음수가 나오므로, 큰 수에서 작은 수를 빼거나 뺀 결과에 절댓값을 씌웁니다. 거리는 항상 0 이상입니다. 예를 들어 −4와 3 사이의 거리는 3 − (−4) = 7이며, −4 − 3 = −7이 나왔다면 절댓값을 취해 7로 씁니다.
- −2.5와 −5/2는 수직선에서 같은 점인가요?
- 네. −5/2 = −2.5이므로 같은 점입니다. 문제의 다른 수가 분수이면 분수로, 소수이면 소수로 맞추어 쓰는 편이 비교하기 쉽습니다.
- 절댓값이 가장 작은 정수는 무엇인가요?
- 0입니다. |0| = 0이고, 다른 정수의 절댓값은 모두 1 이상입니다. "절댓값이 가장 작은 음의 정수"를 물으면 −1이 답이므로 조건을 끝까지 읽어야 합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.