줄기와 잎 그림부터 히스토그램·도수분포다각형·상대도수까지

중1 수학 · 최종 수정 2026-09-30 · 쌤로그 편집팀

도수분포표와 상대도수 단원([9수04-02], [9수04-03])은 흩어진 숫자 자료를 한눈에 보이는 모양으로 정리하는 방법을 차례로 배웁니다. 자료가 적으면 줄기와 잎 그림으로 값을 그대로 살려 정리하고, 자료가 많으면 구간(계급)으로 묶어 도수분포표를 만든 뒤 히스토그램이나 도수분포다각형으로 그립니다. 마지막으로 인원이 다른 두 집단을 공정하게 비교하려고 상대도수를 씁니다.

이 글에서는 한 반의 수학 점수 24개로 줄기와 잎 그림과 도수분포표를 만들고, 다른 학년 40명의 점수로 히스토그램·도수분포다각형·상대도수를 설명합니다. 두 자료는 서로 다른 집단이므로 숫자를 섞지 않도록 주의해 주세요.

변량과 줄기와 잎 그림

점수, 키, 기록처럼 자료를 수량으로 나타낸 것을 변량이라고 합니다. 줄기와 잎 그림은 변량을 줄기(보통 십의 자리)와 잎(일의 자리)으로 나누어, 같은 줄기에 해당하는 잎을 작은 값부터 가로로 늘어놓은 그림입니다. 값을 하나도 잃지 않으면서 자료가 어디에 몰려 있는지 모양으로 보여 준다는 것이 장점입니다.

그림을 읽을 때는 잎의 개수를 셉니다. 줄기 5에는 잎이 2개, 6에는 6개, 7에는 8개, 8에는 5개, 9에는 3개이므로 학생은 모두 2 + 6 + 8 + 5 + 3 = 24명입니다. 가장 낮은 점수는 52점, 가장 높은 점수는 96점입니다. 잎이 가장 많은 줄기 7, 즉 70점대에 학생이 가장 많이 몰려 있습니다. 같은 값이 여러 번 나오면 잎도 여러 번 씁니다. 줄기 7의 잎에 2가 두 번 있는 것은 72점인 학생이 2명이라는 뜻입니다.

"80점 이상인 학생은 전체의 몇 %인가"처럼 물으면 줄기 8과 9의 잎을 셉니다. 5 + 3 = 8명이므로 8 ÷ 24 × 100 = 약 33.3%, 분수로는 1/3입니다.

도수분포표 만들기

자료가 많아지면 값을 일정한 구간으로 묶어 정리합니다. 이 구간을 계급, 구간의 너비를 계급의 크기, 각 계급에 속하는 자료의 개수를 도수라고 하며, 계급과 도수를 표로 나타낸 것이 도수분포표입니다. 계급은 "50 이상 60 미만"처럼 한쪽 끝은 포함하고 다른 쪽 끝은 포함하지 않게 정해, 한 변량이 두 계급에 동시에 들어가지 않게 합니다.

위의 줄기와 잎 그림을 계급의 크기 10점으로 묶으면 다음 표가 됩니다. 줄기 하나가 계급 하나와 같으므로 잎의 개수가 곧 도수입니다.

도수분포표는 한눈에 분포를 보여 주지만, 한 계급 안의 변량이 정확히 얼마인지는 알 수 없게 됩니다. 예를 들어 표만 보고는 70점대 8명 중 가장 높은 점수가 79점이라는 것을 알 수 없습니다. 개별 값이 필요하면 줄기와 잎 그림, 분포의 모양이 필요하면 도수분포표를 쓰는 식으로 목적에 맞게 고르게 합니다.

히스토그램과 도수분포다각형

히스토그램은 가로축에 계급, 세로축에 도수를 잡고, 각 계급의 크기를 가로로, 도수를 세로로 하는 직사각형을 빈틈없이 붙여 그린 그래프입니다. 막대그래프와 달리 막대 사이에 틈이 없는 것은 계급이 이어진 구간이기 때문입니다. 도수분포다각형은 히스토그램의 각 직사각형 윗변의 가운데 점을 차례로 선분으로 잇고(각 점은 계급의 가운데 값 위에 있고, 이 값은 교수·학습 상황에서 계급값이라고 부를 수 있습니다), 양 끝에 도수가 0인 계급을 하나씩 더 두어 그 가운데 점까지 이은 그래프입니다.

그림의 자료는 50점대 4명, 60점대 8명, 70점대 12명, 80점대 10명, 90점대 6명으로 모두 40명입니다. 히스토그램에서 직사각형의 넓이는 (계급의 크기) × (도수)이므로 도수에 정비례합니다. 그래서 직사각형 넓이의 합은 10 × 40 = 400입니다.

도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이도 400으로 히스토그램과 같습니다. 다각형의 선분이 직사각형의 한 귀퉁이를 잘라 내는 대신, 옆에 합동인 삼각형을 하나 덧붙이기 때문입니다. 두 삼각형은 밑변(계급 크기의 절반)과 높이가 같고 맞꼭지각을 끼고 있어 넓이가 같습니다. 양 끝에 도수 0인 계급을 붙이는 것도 이 넓이를 맞추기 위해서입니다.

상대도수와 두 집단의 비교

[9수04-03] 해설은 상대도수를 도수의 총합이 다른 두 집단의 분포를 비교하는 상황에서 간단히 다루고, 상대도수의 필요성과 유용성을 인식하게 한다고 적고 있습니다. 그래서 이 절도 두 집단 비교를 목표로 짧게 정리합니다.

어떤 계급의 도수가 전체에서 차지하는 비율을 상대도수라고 합니다. (상대도수) = (그 계급의 도수) ÷ (도수의 총합)이며, 모든 계급의 상대도수를 더하면 항상 1입니다. 상대도수에 100을 곱하면 백분율(%)이 됩니다. 반대로 (도수) = (도수의 총합) × (상대도수)로 도수를 되살릴 수도 있습니다.

상대도수가 진가를 발휘하는 곳은 인원이 다른 두 집단의 비교입니다. 아래 그림은 40명인 1반과 20명인 2반의 점수 분포를 상대도수의 분포를 나타낸 그래프로 겹쳐 그린 것입니다. 2반의 도수는 계급 순서대로 1, 2, 5, 7, 5명입니다.

80점 이상인 학생 수만 보면 1반은 10 + 6 = 16명, 2반은 7 + 5 = 12명으로 1반이 많습니다. 그러나 비율로 보면 1반은 16 ÷ 40 = 0.4, 2반은 12 ÷ 20 = 0.6으로 2반이 더 높습니다. 그래프에서도 2반의 점선이 1반보다 오른쪽(높은 점수 쪽)으로 치우쳐 있습니다. 도수의 총합이 다를 때 도수를 그대로 비교하면 결론이 거꾸로 나올 수 있다는 것을 보여 주는 예입니다.

시험지 그림을 만들 때 챙길 점

• 줄기와 잎 그림에는 읽는 법을 씁니다. "5|2는 52점"이 없으면 5.2인지 52인지 알 수 없습니다. 잎은 작은 값부터 같은 간격으로 늘어놓아야 잎의 개수가 모양으로 비교됩니다.
• 도수의 총합이 상대도수가 나누어떨어지게 정합니다. 총합을 20으로 잡으면 상대도수가 0.05 단위, 40으로 잡으면 0.025 단위의 유한소수로 떨어집니다. 총합이 24나 30이면 순환소수나 긴 소수가 생겨 읽기 문제로 쓰기 어렵습니다.
• 세로축 눈금은 0부터 시작합니다. 중간부터 시작하면 막대 높이의 비가 도수의 비와 달라져 분포가 과장됩니다. 가로축은 첫 계급 앞에 물결선을 넣어 생략을 표시합니다.
• 도수분포다각형의 양 끝을 가로축까지 잇습니다. 양 끝 점을 빼먹으면 넓이가 히스토그램과 같다는 성질을 확인할 수 없습니다.
• 찢어진 그래프 문제에는 도수의 총합을 적습니다. 총합이 없으면 찢어진 계급의 도수를 구할 방법이 없습니다.

쌤로그 도판 편집기의 통계 도판은 도수를 바꾸면 도수분포표의 합계와 상대도수, 히스토그램의 막대 높이가 함께 바뀌므로, 같은 자료로 표와 그래프를 짝 맞춰 만들 수 있습니다.

자주 묻는 질문

히스토그램과 막대그래프는 무엇이 다른가요?

막대그래프는 서로 떨어진 항목(좋아하는 과목 등)을 비교하므로 막대 사이에 틈을 둡니다. 히스토그램은 이어진 구간(계급)의 도수를 나타내므로 막대를 붙여 그리고, 막대의 넓이가 도수에 정비례한다는 점이 중요합니다.

계급의 개수는 몇 개가 좋나요?

정해진 규칙은 없지만 너무 적으면 분포가 뭉개지고 너무 많으면 도수가 0인 계급이 생겨 모양이 들쭉날쭉해집니다. 자료가 수십 개라면 5~8개 정도로 나누면 모양이 잘 드러나고, 계급의 크기는 5나 10처럼 읽기 쉬운 수로 정하는 편이 좋습니다.

상대도수의 합이 1이 안 되면 어떻게 하나요?

반올림한 상대도수를 더하면 0.99나 1.01이 나올 수 있습니다. 이때는 계산이 틀린 것이 아니라 반올림 오차이므로, 문제에서 반올림 자리를 밝히거나 도수의 총합을 나누어떨어지는 수로 바꾸는 편이 좋습니다.

교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.