중1 직육면체
직육면체와 정육면체의 겨냥도, 모서리의 위치 관계, 대각선의 길이, 닮은 두 직육면체를 그리는 도판입니다. 겉넓이·부피 공식과 꼬인 위치를 찾는 요령, 보기마다 필요한 앞 단원을 정리했습니다.
개념 정리
가로 a, 세로 b, 높이 c인 직육면체의 부피는 abc, 겉넓이는 2(ab + bc + ca) 입니다. 마주 보는 면이 합동이라 세 종류의 면을 두 번씩 더합니다.
공간에서 두 직선은 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 꼬인 위치에 있습니다. 꼬인 위치는 만나지도 평행하지도 않은 경우입니다. 직육면체 ABCD-EFGH에서 모서리 AB와 평행한 모서리는 DC, EF, HG, 수직으로 만나는 모서리는 AD, AE, BC, BF, 꼬인 위치에 있는 모서리는 CG, DH, EH, FG의 네 개입니다.
대각선 AG의 길이는 밑면의 대각선 AC와 높이 CG로 된 직각삼각형에서 AG = √(a² + b² + c²) 입니다(피타고라스 정리를 배운 뒤에 씁니다). 닮음비가 m : n인 두 입체도형은 겉넓이의 비가 m² : n², 부피의 비가 m³ : n³ 입니다. 원문에는 "닮은 도형의 성질"([9수03-12])만 적혀 있고 입체도형의 겉넓이·부피의 비가 따로 나오지는 않습니다. 다루지 않는다고 한 조항도 없으므로, 얼마나 다룰지는 쓰는 교과서로 확인합니다.
시험·학습지에 자주 나오는 형태
- 세 모서리의 길이로 겉넓이와 부피 구하기, 정육면체는 한 모서리만으로
- 모서리의 위치 관계: 기준 모서리와 꼬인 위치에 있는 모서리의 개수 세기
- 각기둥 모서리의 위치 관계: 삼각기둥·오각기둥에서 평행·한 점에서 만남·꼬인 위치 찾기
- 대각선의 길이: 4, 4, 7 → √(16 + 16 + 49) = 9
- 닮은 두 직육면체: 닮음비 2 : 3 이면 작은 쪽 부피 48 → 큰 쪽 162
이 도판은 7가지 보기로 그릴 수 있습니다: 세로로 긴 기둥, 가로로 넓은 상자, 정육면체, 모서리의 위치 관계, 대각선의 길이, 각기둥 모서리의 위치 관계, 닮은 두 직육면체.
예제 · 꼬인 위치
직육면체 ABCD-EFGH에서 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리를 모두 구하시오. (윗면 ABCD, 아랫면 EFGH, AE·BF·CG·DH는 옆모서리)
모서리 12개 중 AB 자신, 평행한 DC·EF·HG, 만나는 AD·AE·BC·BF를 빼면 CG, DH, EH, FG 네 개가 남습니다.
예제 · 대각선과 닮음
가로 3, 세로 4, 높이 12인 직육면체의 대각선의 길이를 구하시오. 또 닮음비가 2 : 3인 두 직육면체에서 작은 것의 부피가 40일 때 큰 것의 부피를 구하시오.
대각선 = √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 입니다.
부피의 비는 2³ : 3³ = 8 : 27 이므로 큰 것의 부피 = 40 × 27/8 = 135 입니다.
도판을 만들 때 챙길 점
- "모서리의 위치 관계" 보기는 기준 모서리를 굵은 선으로 그립니다. 강조할 모서리(정답)는 문제지 기본에서 "없음"이며, 풀이지에서 꼬인 위치 등을 골라 표시합니다.
- "대각선의 길이" 보기의 밑면 대각선 AC와 직각 표시는 풀이 힌트라 기본으로 꺼져 있습니다.
- 가로로 넓은 상자, 세로로 긴 기둥, 정육면체 보기에서는 면 음영(윗면·앞면·옆면·밑면)을 골라 "색칠한 면과 평행한 면" 같은 문제를 만들 수 있습니다.
- 서비스는 이 도판을 입체도형 단원(중1 분류)에 둡니다. 대각선 보기는 피타고라스 정리를, 닮음 보기는 도형의 닮음을 배운 뒤에 쓰므로 입체도형 단원 문제지에서는 쓰지 않습니다.
학생들이 자주 틀리는 부분
- 꼬인 위치를 "수직이 아닌 것"으로 생각해 평행한 모서리까지 셉니다.
- 닮은 입체의 부피를 닮음비 그대로(2 : 3) 계산합니다.
교육과정 근거: 교육부 고시 제2022-33호 [별책 8] 수학과 교육과정(국가교육과정정보센터(NCIC) 공개). 교육과정은 중학교 성취기준을 1~3학년 한 묶음으로 제시하며, 학년 표시는 쌤로그 도판 분류(교과서 단원 순서)입니다.